미분방정식(2) 변수분리형 미분방정식 활용2 로지스틱모형

 

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1. 로지스틱 방정식의 등장

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이 방정식의 기본 아이디어는 Malthus(1798)의 "인구론"에서 표현된 바 있다. 맬서스는 기하급수적인 인구증가라는 표현을 썼는데 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

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미분방정식의 하나이며 이를 풀이하면 다음과 같다.

자세한 풀이는 다음을 참조하기 바란다.

https://blog.naver.com/kshzoa1/222000499911

미분방정식(2) 변수분리형 미분방정식 활용

 

이 지수 증가(Exponential Growth) 방정식은 인구가 폭발적으로 증가함을 의미한다. 그렇지만 현실적으론 그렇지 않다. 왜냐하면 실제로는 이렇게 증가하기 전에 증가를 억제하는 요인들로 인해 증가폭이 둔화되고 결국은 증가를 멈추게 되기 때문이다. 이 문제점을 극복하기 위해 제시된 것이 벨기에의 수학자 Pierre-Francois Verhulst(1804~1849)의 인구성장 방정식인데 다음과 같다.

이 식에 대한 자세한 얘기는 밑에서 다시 다룰테니 지금은 이해하지 못해도 상관없다. 이 식의 의의는 인구가 증가함에 따라 인구성장률이 둔화될 수 있음을 지적하고 있다. 그가 이를 로지스틱 증가라고 했기 때문에 이러한 식을 로지스틱 방정식이라 부른다.

 

2. 로지스틱 방정식의 풀이

풀이는 변수분리형 방정식과 같다.

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STEP1 먼저 변수분리하여 정리한다.

 

STEP2

좌변을 부분분수로 분해한다.

STEP3

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양변을 적분한다.

STEP4 이제 정리한다.

STEP5 초기조건을 넣는다.

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그러면 다음과 같이 정리가 되는데

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STEP6

다시정리한다.

3. 로지스틱함수

 

이렇게 나온 식을 로지스틱 함수라고 하는데 초기 조건에 상관없이 로지스틱 함수는 시간이 지남에 따라 수용용량 L 로 수렴한다. 왜 그런지는 뭐 고등학생 이과생 정도면 다 알 것이다.

지수 증가 모형이 점근선과 관계없이 기하급수로 증가하는 것에 반해, 로지스틱 모형은 점근선에 수렴하게 된다. 이 로지스틱 모형은 생태학 방면에서 개체군 성장 모델로 자주 인용된다.