수학 증명 방법

※제 개인적인 기준으로 분류하였습니다.

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1. 직접증명법

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공리와 정리, 정의 등을 논리적으로 연결하여 증명하는 방법

우리가 일반적으로 흔히 보던 증명방식이다.

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공리(Axiom): 더이상 증명할 수 없는 자명한 명제.

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정의(Definition): 용어에 대한 약속.

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정리(Theorem): 정의, 공리에 의해 증명이 되어 참으로 받아들여진 중요한 명제

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보조정리(Lemma): 정리를 증명하기 위해 필요한 보조적인 명제

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따름정리(Corollary): 정리로 부터 쉽게 따라나오는 명제

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2. 간접증명법

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① 반례에 의한 증명(Proof by counter example)

 

예를 들어보자.

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명제: 붕어빵에는 붕어가 들어가지 않는다.

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이 명제가 틀렸다는 것을 증명하기 위해서는 붕어가 들어간 붕어빵(반례: counter example)을 찾으면 된다.

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② 대우에 의한 증명(Proof by contraposition)

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예를 들어보자.

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명제: 너가 사람이라면 동물을 학대하지 않는다.(p → q)

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대우는 "동물을 학대하다니 너는 사람도 아니구나"(~q → ~p)

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③ 귀류법(Proof by contradiction)

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명제를 부정하여 논리적 모순(contradiction)점을 찾아 명제가 참임을 증명하는 법

예를 들어보자.

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명제: 아메리카노는 커피이다.

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그러면 아메리카노는 커피가 아니라고 해보자.

커피가 아닌 음료의 특징이라면 원두가 들어가지 않는 것이다.

그런데 아메리카노에는 커피원두가 들어간다.

따라서 아메리카노는 커피이다.

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(물론 이탈리아사람들에게는 커피로 대우받지 않는다)

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한국에 이탈리아인이 개업한 카페메뉴.

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④수학적 귀납법(Mathematical Induction)

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예를 들어보자.

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여기에서 빠진 설명이 있다. 수학적 귀납법이 성립하려면 다음과 같이 두 가지가 증명되어야 한다.

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① 오늘 깨끗하다.

②오늘 깨끗하면 내일도 깨끗하다.

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이 2가지가 증명이 된다면 위의 사진 내용이 참이 된다.

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이상 씨앤씨였습니다.