e가 무리수인 이유

이 알쓸신수 시리즈는 【고등학생이 알아두면 쓸데가 있을까말까한 신박한 수학사전】을 말한다. 그러니 심심하면 읽어보고 안 심심하면 안 읽어도 좋은 글 모음이다.

 

오늘은

 

 

 

임을 이용하여 자연상수 e가 무리수인 이유에 대해 알아보도록 하자. 위에 대해 더 자세히 알고싶은 학생은 다음을 클릭!(안 읽어도 좋아요)

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귀류법으로 증명합시다.

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e를 유리수라 가정하면

 

 

 

에서 양변에

 

를 곱해준다. 그러면

 

로 바뀌게 된다. 즉,

 

이므로

또한 자연수가 되어야 한다.

​

그런데

이다.

다시 말해,

이라는 관계가 성립하므로,

는 자연수가 될 수 없다. 따라서 가정에 모순이 됨으로 e는 유리수가 아니다.

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즉 e는 무리수!