복소평면

우리는 음수의 개념을 중1과정에서 처음 배운다. 초등학교를 갓 졸업한 학생들에게 음수라는 것을 이해시키는 것은 만만치가 않다. 그래서 거의 대부분의 교사 및 강사들은 수직선이라는 것을 제시하여 음수라는 것을 이해시키려 할 것이다.

 

중3과정에서 처음 실수의 개념을 배우는데, 마찬가지로 수직선을 도입하여 실수의 개념을 설명한다.

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그런데 고1 과정에서 난데없이 복소수를 배우는데 어느 책을 봐도 복소수를 시각화한 것이 없다. 복소수는 시각화할 수 없는 것일까?

 

 

복소수를 시각화하는 방법이 있다. 단, 중고등수학에서는 배우지 않는다.

바로 복소평면이다. 가우스에 의해 정리되었기 때문에 가우스평면이라고도 불린다.

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가로축을 실수축, 세로축을 허수축이라 하면 a+bi는 다음과 같이 평면상에 일대일대응한다.

 

 

허수를 받아들이기 힘들었던 이유는 허수를 시각화할 수 없었던 것이 큰 이유 중 하나였다. 수직선 어디에도 허수를 표기할 수가 없었던 것이다.

그렇지만 가우스가 복소평면을 제시하면서 허수를 포함한 복소수는 널리 받아들여지게 된다. 허수를 받아들이지 못하는 수학자들에게 가우스는 차원이 낮은 사람은 이해하지 못할 것이라고 조롱한 것으로 전해진다. 가우스의 말처럼 실수가 1차원 수라면 복소수는 2차원 수이다.

단지 시각화했던 것만으로 복소평면이 널리 쓰인 것은 아니다. 많은 이론들이 널리 받아들여지게 되는 가장 큰 이유는 유용성이다.

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복소평면의 유용성에 대해서는 다음 시간에 차차 알아보도록 하자.