알쓸신수-교대조화급수

이 알쓸신수 시리즈는 【고등학생이 알아두면 쓸데가 있을까말까한 신박한 수학사전】을 말한다. 그러니 심심하면 읽어보고 안 심심하면 안 읽어도 좋은 글 모음이다. 간혹 논술에 도움이 될 수는 있다.

 

다음 수열의 합은 수렴할까? 발산할까?

이 수열의 합은 조화급수라고 불리며 발산하는 것으로 알려져 있다. 이 급수가 발산한다는 것은 이미 전에도 적었지만 또 적겠다. 이 급수가 수렴함은 이미 1300여년 경 중세시대에 철학자이자 신학자였던 니콜 오렘이 증명하였다. 오렘의 증명은 다음과 같다.

따라서 조화급수는 발산한다. 

간단하고 멋진 증명이다. 

그렇다면 다음 급수는 어떨까? 수렴할까? 발산할까?

각 항의 부호가 교대로 바뀌는 급수를 교대조화급수(Alternating harmornic series)라고 한다. 부분합을 n=1부터 n=5까지 구하면 다음과 같은 그림이 나온다. 위로 올라갔다가 내려갔다를 반복하면서 그 차이가 좁혀지는 것을 보니 왜인지 수렴할 것 같지 않은가?

 

뭐 이미 아는 학생도 있겠지만 결론부터 얘기하면 이 급수는 수렴한다. 이유는 간단하게만 얘기하면 다음과 같고 굳이 참조를 클릭하고 싶다면 클릭해도 좋다.

교대급수의 수렴성

 

급수를 공부하면 두 가지가 중요한데

 

첫째, 수렴할 것인가, 발산할 것인가

둘째, 수렴한다면 어디에 수렴할 것인가

 

첫째 질문에 대한 답이 이미 수렴하는 것으로 결론이 났다면 이제 어디에 수렴할 것인지 알아보도록 하자. 힌트는 의외로 간단한 데서 출발한다. 

 

다음 등비급수를 보자. 미적분을 배운 학생이라면 익숙한 형태일 것이다.

 

그리고 수학에서 궁금한 것들에 대해 댓글달아놓으면 블로그에 적겠습니다.