카발리에리의 원리

카발리에리의 원리는 적분의 원시적인 방법이다. 아리스토텔레스의 착출법 이후 한동안 정체되었던 적분법은 케플러 이후 다시 한번 도약의 기틀을 마련했고, 카발리에리의 원리를 거쳐서 구분구적법으로 발전하였다. 이 구분구적법은 이후 넓이를 추상화한 리만합의 극한으로 발전하게 되어 오늘날에 이르게 되었다. 그럼에도 카발리에리의 원리는 비록 그 이론의 바탕이 엄밀하지 않은 가정 위에 세워졌지만 이후에 적분법이 발달함에 따라 그 타당성은 여전히 인정받고 있다. 오늘날 고등학교 적분법이 기하학적인 의미보다는 대수적인 계산에 초점을 두고있는 반면에 이 카발리에리의 원리는 기하학에서 출발한 적분법의 의미를 더 잘 드러낸다는 점에서 중요한 원리이다.   

 

1. 카발리에리  Cavalieri(1598-1647)

 카발리에리에 대해 간단히만 소개하려 한다. 카발리에리는 지금의 이탈리아 밀라노에서 태어나 1615년 밀라노 수도원의 수도사가 되었고 1616년에는 피사 수도원으로 옮겨 생활하게 되었다. 카발리에리의 수학적 재능은 밀라노 수도원에 있으면서 그의 천재성을 눈여겨 본 보로메오 추기경은 그를 갈릴레오에게 소개시켜 준다.  이후 그는 갈릴레오를 비롯하여 피사대학의 수학교수인 카스텔리로부터 수학을 사사 받았다. 이후에 그는 1629년에 볼로냐의 수학위원회 의장으로 지명 되었으며 이 당시 적분법의 큰 발전 계기가 된 불가분량법을 개발하였다. Cavalieri는 불가분량법을 1635년에 저술한 “연속체의 불가분량 기하학 (Geometria indivisibilis continuorum nova)"에서 제시하였다. 

나무판자가 쌓여있지만 어긋나게 쌓아도 부피는 변하지 않는다는 것을 알 수 있다. 수학자가 아니라도 당연스럽게 생각할 수 있는 것이다. 아마도 카발리에리는 이런 현상을 보고 불가분량을 떠올리지 않았을까 생각된다. 카발리에리에게 불가분량은 이 쌓아올린 나무판자더미에서 한장의 나무판자와도 같이 (도끼로 찍어내지 않는 이상) 더이상 나눌 수 없는 단위이다. 그는 그의 논문에서 다음과 같이 얘기하였다.

 

어떤 주어진 도형의 불가분량은 그것의 현이고 어떤 주어진 입체도형의 불가분량은 그 입체도형을 평면으로 자른 단면과 같다"

 

어디서 많이 들어본 말 같다. 학생들이 가끔 묻는 말과 비슷한데  '점이 모이면 선이 되고, 선이 모이면 면이 되고, 면이 모이면 입체가 되나요?'라는 말을 매우 가끔은 들을 때가 있고, 나 또한 어렸을 때 이렇게 생각한 적이 있다. 이런 경험을 하게 되면 개인의 수학사적 발달사가 역사발생적 수학사를 따라간다는 것을 느끼게 된다. 각설하고 이는 틀렸다. 넓이가 없는 선이 백번 모여도 면이 되지 않는다. 이러한 불가분량의 모호성으로 인해 당시 카발리에리의 이론은 많은 비판을 받았고 이후의 수학자들은 미적분을 더욱 연구하게 된 계기가 되었다. 이 불가분량의 업그레이드 버전이 무한소라는 개념인데 이것 또한 이후 수학자들이 극한을 엄밀한 정의함에 따라 의해 수학사에서 사라지게 된다. 참고로 만일 무한소라는 말을 학교 또는 학원에서 들었다면 이는 어디까지나 이해를 돕기위해서일 뿐이니 그려러니 하고 들으면 된다.

 

3. 카발리에리의 원리

‘1. 개의 평면도형을 정직선에 평행인 직선으로 잘랐을 때, 두 평면도형 내에 있는 선분의 길이의 비가 항상  m:n 으로 같은 경우, 두 평면도형의 넓이의 비도 m:n과 같다.

 

2‘두 개의 입체도형 을 일정한 평면에 평행한 평면으로 잘랐을 때, 두 입체도형의 단면의 넓이의 비가 항상  m:n으로 같은 경우, 두 입체도형의 부피의 비도 m:n과 같다. 

증명은 생략.

 

4. 카발리에리의 원리 활용 

 

카발리에리의 원리는 그 이론이 명쾌하고 고등학생도 충분히 이해할 수 있을만큼 쉽기 때문에 대학에서 수리논술이나 구술면접에 충분히 나올 수 있는 주제이고 실제로도 몇년전까지는 자주 나왔었다. 요즘은 잘 나오진 않지만 알아둬서 나쁠 게 있겠나. 활용은 이미 여러 웹사이트에 많은 것 같아 하나 정도만 적으려 한다. 모의논술문제이다. 

 

 

생각할 시간을 주겠다.

 

 

정답은 아래에

 

풀이

 

교차하는 입체의 단면은 그림처럼 정사각형이 된다.  

반지름이 r인 원과 외접하는 정사각형 넓이의 비는 다음과 같다.