등비수열의 합(일정한 간격)

1초풀이법은 1학년, 2초풀이법은 2학년(수1, 수2), 3초풀이법은 3학년(미적분,기벡,통계)을 위해 적었다.

이

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시리즈는 시중에 나와있는 문제집이나 모의고사문제, 학교 내신에 나오는 빈출 유형이지만 답지대로 풀면 오래 걸리는 문제들을 좀더 빠르게 푸는 방법을 적는 시리즈이다.

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이 글을 읽기 전에 읽어보면 좋습니다.

(참조:고2 2초풀이법-등차수열의 합(일정한 간격) : 네이버 블로그 (naver.com))

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오늘은 등비수열의 합이 일정한 간격을 유지하면 다시 등비수열이 됨을 이용하여 문제를 풀어본다.

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자 다음 도형을 보도록 하자.

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일정한 비율로 줄어드는 등비수열의 합을 나타내는 그림이다.

식으로 표현하면 다음과 같다.

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<그림1> <그림2>

<그림1>을 보면 두 개씩 묶어도 여전히 특정한 비율로 줄어듬을 알 수 있다. 식으로 표현하면 다음과 같다.

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<그림2>와 같이 3개씩 묶어도 여전히 특정한 비율로 줄어든다. 식으로 표현하면 다음과 같다.

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자 그럼 문제를 풀어보도록 합시다.

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문제1<출처: RPM>

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각 항이 실수인 등비수열 an에서 첫째항부터 제 10항까지의 합이2, 제 11항부터 제 20항까지의 합이 12일 때, 제 21항부터 제 30항까지의 합은?

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step1

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풀이를 하기 전에 먼저 약속할 것이 있다.

m항부터 n항까지 합은 앞으로 이렇게 약속하자.

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m항부터 n항까지 합=S(m,n)

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step2

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중요한 것은 일정한 간격일 것!

그러면 일정한 간격의 등비수열의 합은 다시 등비수열을 이룬다.

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자 이제 풀이를 시작하자.

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S(1, 10)=2

​ ×6

S(11,20)=12

×6

S(21,30)=72

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정답: 72

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문제2<출처: 일품>

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공비가 양수인 등비수열 an의 첫째항부터 제 n항까지의 합 Sn에 대하여

S2=3, S4=15일 때, S8은?

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풀이

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S(1,2)=3

×4

S(3,4)=12

×4

S(5,6)=48

×4

S(7,8)=192

×4

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정답:

S8=3+12+48+192=255

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문제3(출처:개념원리>

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첫째항부터 제 6항까지의 합이 4이고 첫째항부터 제 12항까지의 합이 12인 등비수열의 첫째항부터 제 18항까지의 합을 구하시오.

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풀이

S(1,6)=4

×2

S(7,12)=8

×2

S(13,18)=16

 

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정답: 4+8+16=28

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