알쓸신수-사이클로이드 곡선의 성질(2) 등시곡선

이 알쓸신수 시리즈는 【고등학생이 알아두면 쓸데가 있을까말까한 신박한 수학사전】을 말한다. 그러니 심심하면 읽어보고 안 심심하면 안 읽어도 좋은 글 모음이다. 간혹 논술이나 수학수행평가에 도움이 될 수는 있다. 

 

 갈릴레이가 19세일 때, '진자의 등시성'을 피사의 사원에서 램프가 바람에 흔들리는 것을 보고 발견했다는 일화는 유명하다. 램프의 무게가 크든 작든 한번 갔다오는데 걸린 시간(주기)은 같고, 심지어 많이 흔들리든 적게 흔들리든 주기는 변하지 않는다는 것이다. 중력을 상수라 보면 단지, 실의 길이만이 변수라는 얘기였다.

이것이 1600년경 갈릴레오가 발견한 진자의 등시성이다.

<이탈리아  피사대성당 과  피사의 사탑 . 가고 싶다.>

 

이를 통해 시계공들은 진자시계를 만들었다. 하지만 초기 진자시계는 하루에 10분씩 오차가 발생했다. 진자의 등시성은 참일까란 의문이 생겼다. (등시곡선은 “Tautochrone curve"라고 하며 “Tautochrone"은 그리스 어로‘tauto'와 ‘chronos'의 합성어로써 ‘tauto'는 같음을 의미하여 항 상 일정한 시간을 갖는 곡선을 말한다.) 이 질문은 1674년 호이겐스에 의해 풀린다 . 1673년 네덜란드의 물리학자 호이겐스(Christian Huygens, 1629– 1695)는 ‘진자시계(Horologium Oscillatorium)’라는 저서에서 진자의 궤적이 원의 호가 아니라 사이클로이드 곡선이 되어야 진자의 주기가 정확히 일정하게 된다는 것을 증명하였다.

즉, 왼쪽 그림이 아니라 오른쪽 그림이 등시곡선이다.

<왼쪽그림: 단진자운동, 오른쪽그림: 사이클로이드곡선)

다시 정리하면 아래 그림과 같이 공을 놓는 위치와 상관없이 내려오는 시간이 일정하다는 것만 증명하면 사이클로이드곡선은 등시곡선이라는 것을 증명하는 셈이다.

 

 

라는 상수값이 나온다. 다시 말해 공을 놓는 위치와 상관없이 시간은 일정함을 의미한다.

이로써 사이클로이드의 등시성이 증명되었다. 

 

적분과정은 산수과정이 길기 때문에 밑에 따로 첨부로 적어둔다. 

다음편에서는 사이클로이드가 왜 최단강하곡선인지에 대해 알아보도록 하자. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

출처: 

 

사이클로이드, 「수학산책」『네이버캐스트』  https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3567607&cid=58944&categoryId=58970