알쓸신수-사이클로이드 곡선의 성질(1)

이 알쓸신수 시리즈는 【고등학생이 알아두면 쓸데가 있을까말까한 신박한 수학사전】을 말한다. 그러니 심심하면 읽어보고 안 심심하면 안 읽어도 좋은 글 모음이다. 간혹 논술이나 수학수행평가에 도움이 될 수는 있다.

 

기하학의 헬렌(Helen of Geometry). 또는 불화의 사과로 불리는 사이클로이드 곡선에 대한 서막을 여는 글이다.

요즘은 이미 많은 학생들이 사이클로이드 곡선에 대해 많이 알고 있어서 이 글이 불필요한지는 모르겠지만 그럼에도 먼저 기초적인 내용부터 시작한 뒤 좀 더 깊은 내용은 다음에 다루는 것이 맞을 듯 싶다.

사이클로이드가 불화의 사과라 불리는 이유는 17세기 사이클로이드가 본격적으로 연구되던 당시 수학자들 사이에서 사이클로이드에 관한 연구에서 그 시대에 이루어진 많은 발견들에 관해 누가 무엇을 처음 발견했는가 하는 논쟁과 표절을 둘러싼 비난 그리고 상대의 공적을 깎아 내리는 일까지 빈번히 생겼기 때문이다. 불화의 사과가 무엇인지는 중요하지 않기 때문에 밑의 글을 참조하기로 하자. 

 이 ‘움직이는 원 위의 한 점에 의하여 생성되는 곡선’이 문헌에 최초로 언급된 것은 1501년 부벨 (Charles de Bouvelles, 1475–1566) 이 원의 넓이를 구하는 과정에서 그러한 곡선을 이용하였다는 것이다 . ‘사이클로이드 (cycloid)’ 라는 이름을 명명한 것은 1599년 갈릴레오 (Galileo Galilei, 1564–1642) 에 의해서였다 

그리고  파스칼의 마지막 수학문제로써 유명하다.

 

※불화의 사과

 

바다의 여신인 테티스와 인간인 펠레우스의 결혼식에 올림포스의 모든 신들이 초대되었다. 그런데, 그 중에서 딱 한 신만이 초대받지 못했다. 바로 불화의 여신 에리스였다.  열이 받은 에리스는 결혼식에 나타났는데 그녀의 앞에는 올핌포스 최고의 세여신 헤라, 아테나, 아프로디테가 기다리고 있었다. 에리스는 그들 곁으로 슬그머니 다가가 가져온 선물을 놓고 그곳을 떠났다. 그것은 아름답게 빛나는 황금사과였는데, 그 황금사과에는 이렇게 쓰여 있었다. 

 “가장 아름다운 여신에게”.

세 여신들은 한결같이 자신이 가장 아름다운 여신이라고 주장했다. 그래서 누가 가장 아름다운 여신인가에 대한 결정을 트로이의 왕자인 파리스가 맡게 되었다. 헤라는 그에게 최고의 권력을 약속했고, 아테나는 뛰어난 지략과 강한 군사력을 주겠다고 했다. 마지막으로 아프로디테는 지상에서 가장 아름다운 여인을 주겠다고 했다. 결국 고민하던 파리스는 아름다운 여인을 아내로 얻기로 하고 사과를 아프로디테에게 주었다. 아프로디테는 이미 다른 사람의 아내이며(미친

) 지상에서 가장 아름다운 여인이자 스파르타의 왕비인 헬레네를 파리스의 아내로 정했고, 이 일로 결국 전쟁이 시작되었다. 그 유명한 트로이 전쟁의 시작이었다. 참고로 영화도 있다. 볼만하다. 두 번 봐라.

 

 

1. 사이클로이드 곡선의 매개변수 방정식

 

2. 사이클로이드 곡선의 자취의 길이

 

3. 사이클로이드 곡선의 넓이

 

 

사이클로이드 곡선의 기초적인 성질을 알아보았는데, 다음엔 사이클로이드가 등시곡선 및 최단강하곡선이 되는 이유에 대해서 알아보도록 하자.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

출처

 

사이클로이드, 「수학산책」『네이버캐스트』  https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3567607&cid=58944&categoryId=58970

 

사이클로이드 곡선의 역사와 그 특성에 대한 증명
A History of the Cycloid Curve and Proofs of Its Properties, 한국수학사학회지 2015, vol.28, no.1, pp. 31-44 (14 pages), 심성아