유클리드 기하학 원론

<원론>은 
제 1권부터 제4권까지 그리고 제7권, 제 10권은 피타고라스 학파의 이론이고 제8권은 아르키타스, 제 5권 6권, 12권은 에우독소스, 그리고 10권 13권 은 테아이테토스의 이론이다. 간략하게 살펴보면 
 
1권 : 23개의 정의로부터 시작한다. 공리(당시의 개념-모든 학문에 공통된 가 정), 공준(당시의 개념-특별한 학문에서의 고유한 가정?)등을 다루었다. 공리와 공 준은 사실 구분하기 애매하다. - 삼각형의 성질과 세 개의 합동정리 - 평행에 관한 이론, 삼각형의 내각의 합이 두 직각과 같다. - 평행사변형, 삼각형, 정사각형의 면적의 문제 - 피타고라스 정리의 증명 
 
2권 : 14개의 명제만을 수록한 책으로 1부터 10까지는 간단한 대수법칙을 기하학적으로 나타내고 있으며 명제 11과 12는 이차방정식의 해를 구하는 문제이다. 
 
3권 : 9-나 교과서에 실린 원의 성질과 정리, 원의 중심작도, 원의 접선작도 
 
4권 : 원에 내접하고 외접하는 도형에 관한 명제 16개와 작도에 관한 내용 
 
5권 : 에우독소스의 비례론에 관한 내용 
 
6권 : 에우독소스의 비례론을 평면기하에 응용한 내용 
 
7권 : 22개의 정의(약수 배수 짝수 홀수, 소수, 서로소인 수, 두수의 곱, 평면수, 입체수, 수의 비례. 닮은 평면수와 입체수, 완전수 등)와 유클리드 호제법 등 
 
8권 :등비수열에 관한 이론이며 27개의 명제로 되어있다. 연속비례(기하수열)과 관련된 등비수열을 다룬다, 예컨데, 연속비례 a : b = b : c = c : d 이면 a, b, c, d는 등비수열을 이룬다. 
 
9권 : 정수론, 유클리드의 소수의 정리(소수는 무수히 많다) 
 
10권 : 선분에 관한 내용, 무리수의 분모 유리화를 기하학적으로 다룬 것도 있 음 
 
11권 : 직선과 평면의 수직관계, 평면과 평면의 수직관계, 정다면체. 제1권과 제6권 평면기하학과 관련된 내용 
 
12권 : 18개의 명제로 구성. 착출법이라고 하는 고대 특유의 방법이 응용 
 
13권 :정다면체를 구에 내접시키는 방법과 정다면체가 5개뿐임을 증명
 
공리 axiom
 
1. 동일한 것과 같은 것은 서로 같다. a=c, b=c ⇒ a=b 
 
2. 같은 것에 같은 것을 각각 더하면 그 전체는 서로 같다. a=b ⇒ a+m=b+m 
 
3. 같은 것에 같은 것을 각각 빼면 그 나머지는 서로 같다. a=b ⇒ a-m=b-m 
 
4. 서로 일치하는 것은 서로 같다. ☺ = ☺ 
 
5. 전체는 부분보다 크다. 
 
공준 postulate
 
1. 한 점으로부터 또 다른 한 점으로 직선을 그을 수 있다.
 
2. 유한직선은 무한히 연장할 수 있다. 
 
3. 주어진 점을 중심으로 하고 그 중심으로부터 그려진 유한선분과 동일한 반 경을 갖는 원을 그릴 수 있다. 
 
4. 모든 직각은 서로 같다. 
 
5. 한 직선과 두 직선이 만날 때 어느 한 쪽의 두 내각의 합이 두 직각보다 작 으면 이 두 직선을 무한히 연장할 때 두 직각보다 작은 각이 이루어지는 쪽에서 두 직선은 반드시 만난다.
 
정의 definition
 
1. '점'은 부분이 없는 것이다

2. '선'은 폭이 없는 길이다

3. 선의 양 끝은 점으로 이루어져 있다

4. '직선'은 고르게 놓여있는 점 위에 있는 선이다 

5. '면'은 길이와 폭을 갖고 있다

6. '면'의 끝은 선으로 이루어져 있다

7. '평면'은 고르게 놓여있는 선 위에 있는 면이다

8. '평면각'은 면이 있는 두 선의 기울기로 두 선은 만나지만 같은 직선위에 놓여있지는 않다

9. 여러 직선이 각을 만들었을 때의 각은 곧은각이라고 불린다

10. 한 직선 위에 다른 직선이 놓이고, 두 직선 사이에 만들어진 두 각이 서로 같은시에 두 각은 직각으로 불리며 두 선은 서로 수직이다

11. 둔각은 직각보다 큰 각이다
 
12. 예각은 직각보다 작은 각이다

13. 경계는 모든 것의 끝이다

14. 도형은 경계를 갖고 있는 것이다

15. 원은 한 점으로부터 같은 직선이 뻗어 나갔을때 만나는 점들 안에 만들어진 평면 도형이다

16. 처음 기준이 된 점은 원의 중심으로 부른다

17. 지름이란 원의 둘레에서 원의 중심으로 거쳐 원의 둘레로 이어진 직선을 말하면 또한 원을 반으로 나누는 것이다

18. 반원이란 원의 지름과 지름이 자른 조각 하나로 이루어진 것이다 반원의 중심은 원의 중심과 같다

19. 다각형이란 직선으로 이루어진 것이며 삼각형은 세개의 직선, 사각형은 네개의 직선으로 이루어진 것을 말하며 그 이상은 다각도형이라고 부른다
 
20. 삼각형 중 정삼각형은 세개의 면이 같은 것이고 이등변 삼각형은 두개의 면이 같은 것이며 부등변 삼각형은 모든 면이 다른 삼각형이다
 
21. 또한 직각삼각형은 직각을 갖고 있는 삼각형이며 둔각삼각형은 둔각을 갖고있는 삼각형이고 예각삼각형은 예각을 갖고 있는 삼각형이다
 
22. 사각형 중 정사각형은 네 면이 모두 같으며 직각으로만 이루어져 있는 것이며 직사각형은 직각으로만 이루어져 있지만 네개의 면이 모두 같지는 않다 마름모는 네개의 면이 모두 같지만 직각으로 이루어져 있지 않고 평행사변형은 마주보는 각과 면은 서로 갖지만 네개의 면과 각이 모두 같지는 않다
 
23. 평행은 두 선이 같은 방향으로 계속해서 연장되어도 서로 만나지 않는 것이다
 
유클리드에 관해서는 다음 글을 참조하기 바란다. https://blog.naver.com/kshzoa1/221824638463

기하학의 아버지 유클리드

 
출처
 
7-나 교과서에서 유클리드 <원론>에 관한 연구 허경수, 연세대학교 교육대학원,[2002]
유클리드 기하학에서 공리들에 관한 연구 : 7-나 교과에서 공리들의 적용 중심으로 양승현, 목포대학교 교육대학원,[2007] 
https://ko.wikipedia.org/wiki유클리드 2019. 8.22