다시 한번 고등학교 과정에 적혀있는 극한의 직관적인 정의를 보도록 하자.
함수 f(x)에서 x가 a와 다른 값을 가지면서 a로 아주 가깝게 접근하면 f(x)는 L로 가깝게 접근할 때 함수 f(x)는 L에 수렴한다고 하고, 이를 기호로 표현하면
이라고 나타내고 그림으로 나타내면 다음과 같다.
마음에 절대 와닿지 않을테니 예를 들어보도록 하자.
f(x)=2x라고 해두자.
그런데 여기에서 극한값 4를 근사값 정도로 생각하는 학생들이 꽤 있다.
극한값 4는 근사값이 아니라 그냥 4이다. 4에 가까운 어떤 수도 아니고 그냥 4.
이상하지 않은가? x값은 2가 될 수 없는데 극한값은 4라니?
x=0.9 이면 2x=1.8
x=0.99 이면 2x=1.98
x=0.999 이면 2x=1.998
x 는 1에 가까이 가지만 그럼에도 1은 아니다. 그래도 극한값은 4이다. 아마도 여기가 당시 사람들이 이상하게 여기는 지점일 듯하다.
그럼 생각을 달리해서 4가 아닌 다른 수라는 얘기인가?
그렇다면 이제 극한값이 4가 아니라고 해보도록 하자!
step1
극한값을 4가 아닌 3.8 정도로 두자.
그리고 처음 생각한 극한값을 L로 두도록 하자.
그럼 다음과 같이 나타낼 수 있을 것이다.
step2
그런데 f(x)=3.8이 되는 x값을 찾으면 x=1.9이다.
x는 2 근방의 수이니 1.9보다 더 가까이 갈 수 있다.
그렇다면 x=1.99라고 해보자.
그러면 극한값이 f(1.99)=3.98이 되고 3.8이 극한값은 아니라는 소리이다.
내가 감히 주제넘게 생각한 것이겠지만 코시가 생각한 극한에 대한 아이디어의 핵심은 여기에 있지 않을까 싶다.
다음과 같은 표를 만들어 보자.
|
x
|
|x-2|=δ
|
f(x)
|
|f(x)-L|=ε
|
|
1.9
|
0.1
|
3.8
|
0.2
|
이 표를 반복해서 그리면 다음과 같다.
|
x
|
|x-2|=δ
|
f(x)
|
|f(x)-L|=ε
|
|
1.9
|
0.1
|
3.8
|
0.2
|
|
1.99
|
0.01
|
3.98
|
0.02
|
|
1.999
|
0.001
|
3.998
|
0.002
|
|
1.9999
|
0.0001
|
3.9998
|
0.0002
|
즉, f(x)의 극한값을 4가 아닌 어떤 수를 설정하던지 그 때 δ값은 찾을 수 있고 이 δ보다 작은 값을 대입하면 4가 아닌 극한값은 더 이상 극한값이라 할 수 없게 되는 구조이다.
4가 아니라고 해봤자 결국은 4라고 얘기할 수밖에 없다.
이를 코시는 좀더 다듬어서 다음과 같이 표현하였다.
|
f(x)가 임의의 양수 ε에 대하여 적당한 양수 δ가 존재하여
0 < | x - a | < δ 을 만족하는 모든 x에 대하여 | f(x) - L | < ε 을 항상 만족할 때
x = a 에서 f(x)가 L에 수렴한다.
|
방금 얘기한 논리를 다듬었을 뿐이지 앞서 얘기한 아이디어만 이해하면 충분할 것이다.
엡실론에 따른 델타를 찾는 것은 기술적인 것 뿐이니 거기에 집착하지 말고 아이디어에 집중하자.
오히려 너무 잘 정리되어 이해하기 힘든 측면이 있는데
중요한 것은 뒤에서부터 읽어야 한다는 점이다.
0 < | x - a | < δ ⇒ | f(x) - L | < ε
이런 순서로 적혀있지만 이 순서대로 받아들이면 안된다.
반대로 핵심은 ε에 따른 δ를 찾는 것이 목적이다.
즉, 원인⇒결과가 아니라 결과⇒원인으로 접근해야 한다
왜냐하면 이 엡실론 델타 논법은 극한을 찾는 것이 목적이 아니라 극한을 보증하는데 목적이 있기 때문이다.
그림으로 표현하면 다음과 같다.
즉, 어떤 ε이 주어지든 그 안에 속하게 하는 δ를 항상 찾을 수 있다면 그것이 곧 극한값이라는 얘기이다 .
이 엡실론델타논법으로 그동안의 극한에 대한 논의는 마무리된다.
그렇지만 극한에 대한 직관적인 방법을 버릴 필요는 없다.
앞서도 얘기했지만 이 엡실론델타논법은 극한을 찾는 것이 목적이 아니라 극한을 보증하는 것이 목적이다.
그리고 교과서의 교사용지도서에도 직관적인 방법으로 학생들이 극한을 잘 찾을 수 있도록 지도하라고 적혀있다.
그러니 고등학생들은 틀리지 않은 방법을 통해 직관적으로 극한을 찾으면 된다.
뭔가 급마무리한 느낌이다.
고등학생들이 보기 쉽도록 적는 것이 이 글의 목표였는데....적다보니 실패인 듯 하다.
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