극한에 대한 엄밀한 접근(2) 무한소가 배척당한 이유

라이프니츠는 무한소량을 다음과 같이 정의하였다.

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" 무한소량이란 임의의 주어진 양보다는 적으나 0보다는 큰 양이다."

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일견 그럴듯 하게 보이기도 한다. 이 말이 왜 이상한지에 대해서는 먼저 아르키메데스 정리에 대해 알아보도록 하자.

아르키메데스

임의의 작은 양수 a에 대하여 aN>1인 자연수 N이 항상 존재한다.

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무슨 말인지 예를 들어보도록 하자.

내가 매달 100만원을 벌어서 강남아파트를(24억기준) 사고자 한다고 생각하자.

그러면 100만원 ×12개월이면 1200만원이고

1년(1200만원)씩 10년이면 1억 2천만원이고

1억 2천만원×20이면 24억이 된다는 얘기이다.

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즉, 한달에 100만원씩 쓰지않고 꼬박저축하면 200년 뒤에 강남아파트를 살수 있다는 얘기이다......

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내가 아주아주 오랫동안 산다면 아무리 적게 벌어도 오랜 시간뒤에는 결국은 아파트를 사고도 남을 돈을 벌 수 있다는 얘기이다. 그리 어렵지 않은 얘기일거라 생각한다.

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그런데 무한소는 이런 아르키메데스의 정리를 만족하지 않는다.

위의 아파트에 대한 예를 그대로 빌려서 얘기한다면 이런 돈이 존재할 수 없다. 돈이 움직이지 않고서는 이런 일이 발생하지 않는다.

즉, 이런 수는 존재할 수 없다. 수가 움직이지 않고서야 이런 일이 발생하지 않는다.

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만일 무한소를 수로 인정해서 표기하면 결국은

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0.000000000.......

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이라고 밖에 표현할 수가 없는데 "0.0000000....."은 우리들의 수학상식으로는 0이라고 밖에 얘기할 수가 없다. 그런데 라이프니츠는 무한소가 0은 아니라 하였으니 어느 순간 1이 된다는 얘기로 받아들인다면 결국은 아르키메데스 정리를 만족하게 된다. 아르키메데스 정리를 만족한다는 말은 실수체계 안에 존재하는 수이다.

이렇게 생각하나 저렇게 생각하나 모순이 발생한다. 굳이 인정하겠다면 실수를 초월한 수이니 실수 내에서는 다룰 수 없다. 물론 나의 수학상식 밖의 얘기이다. (초실수체라 하여 비표준해석학에서 무한소를 포함하여 다룬다고는 하나 나는 잘 모르는 내용이고 나는 어디까지나 고등학교 수학 상식 내에서만 얘기할 생각이다.)

이래저래 모순이 발생하니 무한소라는 말은 그냥 이해를 돕기 위해서만 쓴다고 생각하고 실수 내에 존재하는 것은 아니라고만 알자.

이제 무한소가 아닌 이유는 알았으니 이제부터는 미적분의 기초를 무한소를 쓰지 않고 어떻게 세웠는지 알아보도록 하자.

이에 대해선 또 다음 기회에~

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