이 알쓸신수 시리즈는 【중고등학생이 알아두면 쓸데가 있을까말까한 신박한 수학사전】을 말한다. 그러니 심심하면 읽어보고 안 심심하면 안 읽어도 좋은 글 모음이다.
오늘은 수열의 극한에 대해 고등학교과정을 조금만 더 넘어 다루어 볼 생각이다. 가볍게 시작해보도록 하자.
0.999999·········· = 1 인가?
아마도? 대부분은 "그렇다"라고 대답할 것이라 믿고 싶다.
위 과정을 "그렇구나"라고 인정하신다면 다음 글을 읽어봐도 좋다. 그래도 도저히 받아들일 수 없다면 다음 글을 읽으면 더 혼란만 가중될 수 있다.
자 아주 간단한 예로 다시 시작해 보자.
3과 4는 같은 숫자인가? 다른 숫자인가? 물론 다른 숫자라고 얘기할 것이라 생각된다.
3과 3은 같은 숫자인가? 다른 숫자인가? 물론 같은 숫자라고 얘기할 것이다.
누굴 바보로 아나라고 얘기할 수도 있지만 원래 수학은 누구나 당연하다고 인정하는 데에서 출발한다.
이처럼 3과 3은 같고, 3과 4는 다른 숫자인 이유는 무엇일까?
"숫자가 같다"라는 말은 두 수의 거리가 0이다라고 얘기할 수 있다. "두 수가 다르다"라는 말은 두 수의 거리가 0이 아니다라고 얘기할 수 있을 것이다. 동의하십니까?
| 3 - 3 | = 0 이지만 | 4 - 3 | = 1이기 때문에 4와 3은 다른 숫자이다. 이처럼 틈이 없을 때, 같은 수라 얘기할 수 있다.
그럼 | 1 - 0.9999········ | 는 얼마일까?
여기에서 0.000000·······00001 이라 얘기한다면 이는 "····"이라는 기호를 오해한 것이다. "···"는 무한한 상태라 얘기할 수 있기 때문에
| 1-0.9999········ |=0.00000····라고 밖에는 대답할 수가 없다.
결국 0이란 얘기이고 다시 말해 두 수 사이에 틈이 없으므로
1=0.99999······라는 얘기이다.
그럼 이를 기호를 써서 표현해보도록 하자.
오해는 여러가지에서 비롯되는 듯 하다.
첫번째는 유한일 때의 성질을 그대로 무한일 때의 성질에 적용한다는 것이다.
그렇지만 유한일 때와 무한일 때는 다른 성질을 갖는 경우가 많다.
유한일 때는 덧셈의 교환법칙이 성립하지만 무한일 때는 항상 교환법칙이 성립하지 않는다든지, 아니면 연속함수의 유한합은 연속함수이지만 연속함수의 무한합은 연속함수가 아닐 수도 있다든지 등등 무한일 때는 우리의 직관과 다른 것들이 많다.
처음부터 다른 종족이다라고 받아들이는 것이 정신건강에 좋을 듯 싶다.
두번째는 "어딘가로 향한다"는 생각때문이다. 수는 움직이는 것이 아니다. 극한은 어딘가로 계속해서 향하는 것이 아니라 그 자체로 완결된 실체이다.
그러니 무한을 다룰 때에는 좀더 엄밀하고 조심스럽게 접근해야 하는데...
그래서 수학자들은 수열의 극한에 대해 엄밀한 정의를 아주 어려운 말로 결론내렸다.
"임의의 양수 ε에 대하여 이에 대응하는 적당한 자연수 N(ε)이 존재하여
n>N일 때마다 | a(n) - L | < ε 이 성립하면 a(n)은 L에 수렴한다.
증명하는 과정이야 약간의 기술적인 영역이라 하더라도
결국 본질적인 내용은 극한값과 차이없음을 인정하라는 얘기인 것이다.
극한값이 L이 아니야라고 말할 수 없게 만드는 것이다.
그러니까 차이가 "0이 아니야"란 사람들에게 그럼 0이 아니면 뭔데?라는 것이다.
이 글은 ε-N논법이 이러쿵 저러쿵 하는 글은 아니고 고등학생들을 대상으로 한 ε-N논법에 대해 적은 글은 많은데 과연 고등학생들이 이해할 수 있을까?란 생각과 더불어 당시 무한을 접한 사람들이 이 문제를 어떻게 해결해나갈 것인가?를 내 나름 그 당시 사람들에 빙의해서 고등학생이 읽어봐도 비교적 쉽게 이해할 수 있을 정도에서 적어봤다. 아 물론 내 생각이다.
그래도 예제 몇개만 풀어보도록 하자. 예제는 안 읽어도 좋다.
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