조건수렴 절대수렴

이 알쓸신수 시리즈는 【중고등학생이 알아두면 쓸데가 있을까말까한 신박한 수학사전】을 말한다. 그러니 심심하면 읽어보고 안 심심하면 안 읽어도 좋은 글 모음이다.

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다음은 참일까요? 거짓일까요?

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무한급수가 수렴할 때, 덧셈의 교환법칙은 항상 성립하는가?

 

정답은 거짓

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한 가지 예를 들어봅시다. 다음 수열은 교대조화급수라 불리는 급수입니다.

극한값은 ln2로 알려져 있습니다.

 

 

 

 

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그럼 이를 재배열해보도록 합시다.

재배열 순서는 <양수, 음수, 음수> 순서입니다.

 

 

 

 

 

 

이상하지 않나요?

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무한급수가 항상 교환법칙이 성립하는 것은 아닙니다. 교환법칙이 성립하기 위해서는 어떤 조건이 필요한데 그 조건은 바로 절대수렴입니다.

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절대수렴하면 무한급수에서도 교환법칙이 항상 성립하지만

조건수렴하면 교환법칙이 항상 성립하지는 않습니다.

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밑에 읽어보시면 절대수렴, 조건수렴에 대해 적었으니 읽어보시기 바랍니다^^

 

 

예를 들어봅시다.

 

 

 

 

 

이유는 다음을 참조:

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증명은 대학교에서 배우시고 무한을 다룰 때에는 평소에 수학에 대해 가지고 있던 상식에서 벗어나는 일들이 많으니 항상 조심해서 다루어야 한다는 것 정도만 알아두세요~!