소수에 관한 10가지 이야기

 

 

중학교 1학년 들어가자 마자 나오는 것이 바로 '소수(Prime number)'이다. 모든 물질이 원자의 결합으로 이루어져 있듯이 자연수 또한 소수의 결합으로 이루어져 있다. 즉, 소수는 자연수의 원자라고 할 수 있다. 이 소수에 대한 문제는 아주 오랜 세월 동안 수학자들이 연구한 주제이다. 여기에 있는 10가지 이야기 중 몇가지는 하나하나 따로 적어야 될 만큼 심오하고 중요한 주제들이다. 하나하나 더 깊이 들어가기엔 나의 지식이 부족한 관계로 이런 것들이 있구나하고 넘어가자. 몇가지는 다음에 기회가 있다면 공부를 해서 따로 더 자세하게 적도록 하겠다.

 

 

1. 소수는 무한한가?

 

정답: 그렇다

 

이것은 이미 2000년도 더 이전인 기원전 유클리드가 증명한 것이다.

유클리드의 증명을 현대적으로 적으면 다음과 같다. 

다른 방식으로 소수의 무한성을 증명하는 것도 유의미한 일이니 한 번 도전해보기 바란다. 

(밑에는 오일러가 증명한 방법이니 참조해도 좋다

https://blog.naver.com/kshzoa1/221855063111)

소수가 무한한 이유:오일러증명

 

2. 쌍둥이 소수(Twin primes)는 무한한가?

 

모른다.

 

3. 골드바흐의 추측은 증명되었는가?

 

모른다

 

과연 이것이 무한히 가능한 일일까?

이 문제는 프러시아의 수학자 크리스티안 골드바흐(Christian Goldbach, 1690~1764)는 1742년 레온하르트 오일러(Leonhard Euler, 1707~1783)에게 ‘2보다 큰 모든 정수는 세 소수의 합으로 나타낼 수 있다’라는 내용을 편지에 적어 보냈다. 이는 골드바흐가 1을 소수로 간주했기 때문에 나온 말이었고 편지를 받은 오일러는 골드바흐의 추측을 ‘2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다’라고 좀 더 간단하게 바꾸었다.

 

4. 쌍둥이 소수 이외에 또다른 소수쌍은 무한할까?

 

그렇다

 

(p,p+2) 이외에도 (p, P+4), (P, P+6) 등등의 소수쌍에 대해서도 생각해 볼 수 있다. 비록 골드바흐 추측이 증명된 것은 아니지만 '이탕 장'이라는 수학자가 58세이던 2013년 7000만 이하의 소수쌍이 무한하다는 것을 증명하였다. 이후 티모시 가워스와 테렌스 타오, 제임스 메이나드 등 세계적 수학자들이 그의 증명방법을 기반으로 ‘폴리 매스’(Poly Math) 등의 온라인 공간에서 공동연구를 이어가 현재 소수 차이를 246까지 줄였다.

 

Yitang Zhang(1955~       )

 

 그는  1978년 중국 최고 명문인 북경대 수학과에 입학해 학사와 석사학위를 받고 1991년에는 미 퍼듀대에서 박사학위를 받았다. 그렇지만 당시 구소련 붕괴로 뛰어난 학문적 업적을 가진 소련 수학자들이 대거 미국으로 넘어오면서 갓 박사학위를 얻은 그는 경쟁에서 완전히 밀려났다. 그는 이후 8년간 밥벌이를 위해 식당 배달부와 샌드위치가게 점원 등 밑바닥 생활을 전전했다. 회사 회계업무를 보조해주기도 했다. 그러던 중 1999년 뉴햄프셔대에서 강사 자리를 제안받아 수학자로서 삶을 살 수 있게 됐다. 그렇지만 시간강사의 삶도 녹록치는 않았다. 그럼에도 불구하고 수학에 대한 열정을 불태운 그는 이 증명으로 일개 시간강사에서 세계적으로 주목받는 수학자가 된다. 그리고 이 이후 뉴햄프셔 정교수직 자리에도 올랐다. 

 

 

6. 메르센 소수는 무한인가?

 

모른다

 

 

 

7. 지금까지 알려진 가장 큰 소수는?

 

소수는 무한하다고 하였는데 가장 큰 소수를 물으니 조금 이상하지 않은가? 소수가 무한한 것은 맞다. 그렇지만 모든 소수를 알 수 있는 것은 다른 문제이다. 지금까지 알려진 소수 중에서 제일 큰 소수는 메르센 소수로 찾는다. 현재 제일 큰 소수는 메르센 소수 중 50번 째 숫자이다. 이번 50번째 소수의 발견자는 이 공동프로젝트에 참여해 14년 동안 더 큰 소수를 찾아온 미국 전기기술자 조너선 페이스(51)로, 이번 발견으로 이 단체에서 상금 3000달러를 받게 됐다.

 

 

<50번째 메르센 소수이자 알려진 제일 큰 소수>

 

8. 페르마 소수는 무한한가?

 

모른다. 

 

 

페르마는 자신이 발견한 형태의 수는 모두 소수라고 주장했다. 그렇지만 아쉽게도 페르마의 주장은 틀렸다. m=0,1,2,3,4일 때에 페르마 소수는 각각 3, 5, 17, 257, 65537로 나왔으며 이것들은 모두 소수가 맞다. 그런데 m=5 일 때 나온 값은 다음과 같은데 이 수 4,294,967,297 =641×6,700,417 이므로 소수가 아니라는 것을 1732년에 오일러가 발견했다. 그 뒤에도 계속해서 합성수임이 밝혀졌다. 물론 합성수가 나온다고 해서 언젠가 소수가 나오지 말라는 보장이 있는 것은 아니다. 그렇지만 수학자들의 예상은 페르마 소수는 이 5가지가 전부일 것으로 예상하고 있다. 

 

9. 소수를 찾는 만능 공식이 있을까?

 

없다.

 

 

10. 소수의 분포는 어떻게 되는가?

가우스는 15살일 때, 소수보다 소수의 빈도가 어떻게 되는지 고민했고, 소수의 빈도는 평균적으로 로그함수에 반비례한다고 생각해냈다. 그의 나이 15살일 때 말이다. 이를 식으로 표현하면 다음과 같다.

어디까지나 근사라는 얘기지 정확한 값을 주는 것은 아니다. 여기에서 x값을 무한으로 보내면 다음과 같은 식이 나온다. 

이것이 소수정리(Prime number Theorem)이다. 이 소수정리에 대한 증명은 1896년 아다마르, 푸생에 의해 이루어졌다. 그런데 이 이전에 이 소수정리를 증명하려는 사람이 있었다. 바로 리만(Bernhard Riemann)이다. 1859년 리만은 「주어진 수보다 작은 소수의 개수에 대하여」라는 논문에서 어디까지나 자신이 세운 가정이 맞다는 전제 하에 소수정리를 증명해냈다. 그런데 지금은 이 가정이 바로 '세계 7대 밀레니엄 문제' 중 하나인 리만가설이 된 것은 아이러니이다. 리만은 '소수정리'가 참임을 증명하기 위해 가설을 세웠는데 정작 '소수정리'는 증명이 된 반면에 자신이 세운 가정은 150여 년이 지난 지금에도 풀리지 않고 있다. 

 

 

 

 

출처

「정다각형의 작도」, 『수학산책 네이버캐스트』 정경훈 https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3567923&cid=58944&categoryId=58969

정다각형의 작도

 

 

「여전히 추측으로 남아 있는 골드바흐의 추측 (박경미의 수학콘서트 플러스)」, 『네이버 지식백과』, 박경미

https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3533868&cid=60209&categoryId=60209&expCategoryId=60209

여전히 추측으로 남아 있는 골드바흐의 추측